4

Rozdíl mezi dvěma investičními výsledky ještě nemusí znamenat, že mezi nimi existuje skutečně významná odlišnost. Část rozdílu může souviset s běžným kolísáním dat. Z-test patří mezi statistické nástroje, které pomáhají ověřit, jestli pozorovaná odchylka poskytuje dostatečný důvod ke zpochybnění předem stanoveného předpokladu. Jeho využití ale závisí na konkrétních podmínkách a nehodí se pro každou analýzu investičních výsledků.

Investiční rozhodování se opírá o množství dat – od historických výnosů a volatility přes srovnání s referenčními hodnotami až po výsledky jednotlivých strategií. Samotný rozdíl mezi naměřenými hodnotami však nevysvětluje, zda jde o systematickou odlišnost, nebo výsledek náhodného kolísání. Jedním ze způsobů, jak tuto otázku statisticky posoudit, je testování hypotéz. Z-test představuje jednu z metod, které pro tento účel využívají standardizované normální rozdělení. A testování hypotéz se uplatňuje také ve finanční a investiční analýze.

Jak Z-test funguje

Základem Z-testu jsou dvě hypotézy. Nulová hypotéza obvykle předpokládá, že mezi sledovanou hodnotou a zvolenou referenční hodnotou není rozdíl, případně rozdíl odpovídá předem stanovené hodnotě. Alternativní hypotéza pracuje s možností, že rozdíl existuje.

Představme si například analytika, který zkoumá, jestli průměrná hodnota sledované investiční metriky odpovídá určité referenční úrovni. Z-test porovnává zjištěný průměr s hodnotou předpokládané nulové hypotézy a rozdíl vztahuje k variabilitě dat a velikosti vzorku. Výsledkem je Z-statistika, která ukazuje, jak vzdálený je pozorovaný výsledek od předpokládané hodnoty v jednotkách standardní chyby. U klasického jednovýběrového Z-testu pro populační průměr se pracuje se vztahem:

Z = (výběrový průměr − předpokládaný průměr) / standardní chyba

Čím dále se výsledná Z-statistika nachází od hodnoty odpovídající nulové hypotéze, tím méně jsou pozorovaná data s tímto předpokladem slučitelná. NIST při testování populačního průměru rozlišuje situace podle toho, zda je populační směrodatná odchylka známá, nebo se musí odhadnout z dostupných dat.

S výsledkem souvisí také hladina významnosti a p-hodnota. Hladina významnosti se stanovuje před samotným vyhodnocením a určuje tolerovanou pravděpodobnost chyby prvního druhu, tedy zamítnutí nulové hypotézy, přestože je pravdivá. P-hodnota následně vyjadřuje, jak pravděpodobný by za platnosti nulové hypotézy byl pozorovaný nebo ještě extrémnější výsledek. Neříká tedy, s jakou pravděpodobností je samotná nulová hypotéza pravdivá.

K čemu Z-test slouží při správě investic

Princip testování hypotéz nachází uplatnění všude tam, kde analytik potřebuje rozlišit mezi rozdílem pozorovaným v datech a rozdílem, pro který existuje dostatečně silný statistický důkaz. V investičním prostředí může jít například o posouzení, zda průměrná hodnota sledované metriky v rozsáhlejším souboru dat odpovídá určité referenční hodnotě.

Obdobným způsobem lze za odpovídajících podmínek pracovat s rozdílem mezi dvěma soubory pozorování. Testování hypotéz přitom vždy začíná formulací konkrétní otázky a výběrem statistického testu, který odpovídá povaze dat. CFA Institute mezi jednotlivými kroky uvádí formulaci hypotéz, volbu testovací statistiky a jejího rozdělení, stanovení hladiny významnosti, výpočet statistiky a následné rozhodnutí.

Výsledek Z-testu ale sám o sobě neříká, jestli je určitá investice výhodná a správce portfolia odvedl kvalitní práci, případně jestli bude strategie úspěšná i v budoucnu. Odpovídá na mnohem užší otázku: zda jsou získaná data za stanovených předpokladů dostatečně neobvyklá na to, aby bylo možné zamítnout nulovou hypotézu.

Z-test, nebo t-test?

Právě zde se objevuje jeden z důležitých limitů při přenosu Z-testu do investičního prostředí. Klasický Z-test populačního průměru předpokládá znalost populační směrodatné odchylky. V reálných finančních datech tato hodnota zpravidla známá není a analytik ji odhaduje z výběru.

V takovém případě se pro testování průměru normálně rozdělené populace používá t-test, který zohledňuje nejistotu spojenou s odhadem směrodatné odchylky. CFA Institute uvádí, že pro test populačního průměru normálně rozdělené populace s neznámým rozptylem je teoreticky správnou testovací statistikou t-statistika.

Rozdíl je výraznější u menších vzorků. Studentovo t-rozdělení má širší konce než normální rozdělení a zohledňuje vyšší nejistotu vycházející z omezeného počtu pozorování. S rostoucím počtem stupňů volnosti se t-rozdělení postupně přibližuje normálnímu rozdělení. U velkých vzorků proto mohou být výsledky obou postupů velmi podobné.

Samotná velikost vzorku však není univerzálním důvodem pro použití Z-testu. Rozhoduje i charakter dat, způsob stanovení standardní chyby a předpoklady konkrétní metody.

Statistická významnost není totéž co investiční význam

Statisticky významný výsledek ještě nemusí být z pohledu vlastníka majetku podstatný. Velký datový soubor dokáže odhalit i relativně malou odchylku od referenční hodnoty. Takový rozdíl může splnit stanovenou hranici statistické významnosti, jeho praktický dopad na portfolio přitom může být zanedbatelný.

Při hodnocení investičního výsledku proto vedle statistické významnosti hraje roli i velikost sledovaného rozdílu, riziko, náklady, likvidita nebo investiční horizont. Rozdíl několika bazických bodů může být statisticky dobře doložený, přesto nemusí změnit investiční rozhodnutí. Naopak ekonomicky významný rozdíl může při malém počtu pozorování zůstat statisticky neprůkazný.

Stejně opatrně je nutné zacházet s p-hodnotou. Nízká p-hodnota sama nepotvrzuje kvalitu strategie ani schopnost jejího správce. Informuje o vztahu pozorovaných dat k nulové hypotéze za předpokladů zvoleného statistického modelu.

Limity Z-testu u investičních dat

Finanční data navíc nemusí splňovat podmínky, na nichž jednoduché statistické testy stojí. Rozdělení investičních výnosů se může lišit od normálního rozdělení. Při jejich popisu proto vedle průměru a rozptylu hrají roli také šikmost a špičatost rozdělení, které zachycují jeho asymetrii a charakter konců. CFA Institute je uvádí mezi základními charakteristikami používanými při analýze výnosů aktiv.

Další komplikací bývá závislost jednotlivých pozorování v čase nebo proměnlivost volatility. U finančních časových řad proto není vhodné automaticky předpokládat, že každý nový údaj představuje nezávislé pozorování se stejnými vlastnostmi jako údaje předchozí.

A důležitý je i způsob, jakým byla testovaná hypotéza vytvořena. Pokud analytik zpětně prověřuje desítky strategií, období nebo kombinací parametrů a vybere jen výsledek s nízkou p-hodnotou, roste riziko, že nalezená „významnost“ vznikla v důsledku opakovaného hledání v datech. Statistický test proto nelze oddělit od procesu, kterým analytik k testované hypotéze dospěl.

Jak Z-test interpretovat při správě majetku

Z-test představuje poměrně jednoduchý nástroj pro statistické ověřování hypotéz. Jeho správná interpretace ale začíná ještě před samotným výpočtem. Analytik musí vědět, jakou hypotézu testuje, zda zvolený test odpovídá charakteru dat a jsou splněny jeho předpoklady.

Při správě investic je proto Z-test vhodné chápat jako součást širšího analytického rámce. Statistický výsledek získává význam až ve spojení s velikostí sledovaného efektu, investičním rizikem, náklady, horizontem a cíli vlastníka majetku. Test může pomoci rozlišit náhodné kolísání od statisticky podložené odchylky. O samotné kvalitě investičního rozhodnutí nicméně rozhoduje širší kontext.